\item$R$ est calculé à partir de la durée d'infection:
$$
R =1-\death_{ill}^{\frac{1}{\gamma}}
$$
\item$loss$ est calculé à partir de la durée d'efficacité du vaccin:
$$
loss =\frac{1}{vaccin_{duration}}
$$
\end{itemize}
\begin{table}
\centering
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
Variable & Description\\
\hline
$h_k$&Healthy people\\
$s_k$&Sick people\\
$c_k$&Cured people\\
$i_{\theta,k}$& People with $\theta$ time step incubation\\
$r_k$&Removed (immune) population\\
$i_k$&Infected population\\
$s_k$&Susceptible population\\
$w_{\theta,k}$& People with $\theta$ time step incubation\\
... & ...\\
$i_{1,k}$& People with 1 time step incubation\\
$w_{1,k}$& People with 1 time step incubation\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Vecteur d'état}
\label{variables}
\end{table}
\newpage
\subsection{Modèle d'évolution}
Si on note le vecteur d'état $X_k$ et la matrice de transition $A$, avec
$$
X_k =
\begin{pmatrix}
c_{k}\\
r_{k}\\
i_{k}\\
s_{k}\\
h_{k}\\
i_{\theta,k}\\
w_{\theta,k}\\
...\\
...\\
...\\
i_{1,k}\\
w_{1,k}\\
\end{pmatrix}
$$
$$
A=
\begin{pmatrix}
1+nat-\beta&\gamma& v &0&&&&\\
0&1+ill-\gamma&0&1&&&&\\
\beta&0&1+nat-\alpha-v &0&&&&\\
&&&0&1+nat &&&\\
&&&&0&1+nat &&\\
&&&&&0&1+nat &\\
&&&&&&0&1+nat\\
&&\alpha&&&&&0\\
\end{pmatrix}
$$
Alors l'équation aux différences du système se réécrit de manière matricielle :
$$
X_{k+1}=AX_k
$$
Le problème de non-linéarité se trouve au niveau du coefficient $\alpha$, qui dépend en réalité du nombre total de personnes infectées ou sous incubation.
% $$
% A=
% \begin{pmatrix}
% 1+nat-\beta & \gamma & v & 0 & & & & \\
% 0 & 1+ill-\gamma & 0 & 1 & & & & \\
% \beta & 0 & 1+nat-\alpha-v & 0 & & & & \\
% & & & 0 & 1+nat & & & \\
% & & & & 0 & 1+nat & & \\
% & & & & & 0 & 1+nat & \\
% & & & & & & 0 & 1+nat\\
% & & \alpha & & & & & 0\\
% \end{pmatrix}
% $$
% Alors l'équation aux différences du système se réécrit de manière matricielle :
% $$
% X_{k+1}=AX_k
% $$
% Le problème de non-linéarité se trouve au niveau du coefficient $\alpha$, qui dépend en réalité du nombre total de personnes infectées ou sous incubation.
\newpage
\section{Modèle mathématique d'interaction entre plusieurs populations}
