add some biblio and pure delay

Article/article.tex

@@ -51,6 +51,11 @@ La seconde extrapole ces résulats en mettant en concurrence différentes popula
 
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 \section{Revue de littérature}
+\subsection{Modèle du retard pur pour le modèle SEIQR}
+Afin de complexifier le modèle, on pense tout d'abord à instaurer un état d'incubation. Cet état diffère des autres puisqu'il est déféni par un retard pur
+pour la maladie, avant que celle ci affecte réellement le malade \cite{pure-delay}. Dans cet article, le modèle du retard pur est implémenté à l'aide de
+plusieurs réservoirs, en réalité un réservoir par pas de calcul, pour la durée totale de la période d'incubation.
+Ainsi, à chaque pas de calcul, le contenu de chaque réservoir est déversé dans le suivant, tandis que le dernier s'ajoute à la population malade.
 
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 \section{Modèle mathématique de la dynamique d'un réservoir}
@@ -140,20 +145,19 @@ Voici comment sont déterminés les paramètres ($||x||$ correspond à la valeur
 
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 \subsection{Premier modèle d'évolution : SIR}
-Le modéle SIR est le modéle fondamental dans l'étude compartimental en épidémiologie\cite{sir-model}.
-Voici les différentes équations régissant l'évolution pas à pas du système (tout d'abord sans incubation):
+Voici les différentes équations régissant l'évolution pas à pas du système (tout d'abord sans l'incubation):
 \begin{itemize}
     \item $s_{k+1} = (-death_{nat}-p.\frac{i_k}{s_k+i_k+r_k})s_k + loss.r_k + birth(s_k+i_k+r_k)$
     \item $i_{k+1} = p.\frac{i_k}{s_k+i_k+r_k}.s_k + (-death_{ill}-R)i_k$
     \item $r_{k+1} = vacc_{rate}.s_k + R.i_k + (1-death_{nat}-loss)r_k$
 \end{itemize}
-
 En particulier, le terme $p.\frac{i_k}{s_k+i_k+r_k}.s_k$ correspond à la transmission de la maladie. Il est important de noter qu'il dépend à la fois du nombre
 de personnes susceptibles, mais aussi de la proportion de personnes infectées parmis la population. Cela pose un problème car ce terme rend le système non-linéaire.
 
-Dans la recherche d'une modélisation plus proche de la réalité, nous avons pensé à une autre formule concernant la transmission du virus.
+On se propose donc d'améliorer cette formule en utilisant un modèle combinatoire.
 
-On procéde ainsi :
+Le terme $s_k.(1-\frac{\gamma.p}{N})^I$ représente la transmission du virus.
+Voici comment obtenir cette formule :
 \begin{itemize}
     \item Un individu infecté effectue $\gamma$ contacts par jour, donc seule une proportion $p$ est susceptible de transùettre la maladie.
     \item Parmis ces contacts, seuls $\frac{S}{N}$ atteignent des personnes saines. On a donc $\frac{\gamma.p.S}{N}$ transmissions par individu infecté.
@@ -162,14 +166,15 @@ On procéde ainsi :
     \item Enfin, on a donc $S.P^{i_k}$ personnes saines qui sont infectées à chaque pas.
 \end{itemize}
 
-Le terme $s_k.(1-\frac{\gamma.p}{N})^I$ représente donc la transmission du virus.
-On a alors :
-\begin{itemize}
-    \item $s_{k+1} = (-death_{nat}-(1-\frac{\gamma.p}{N})^I)s_k + loss.r_k + birth(s_k+i_k+r_k)$
-\end{itemize}
+Cette formule est plus intéressante, car elle fait intervenir des données plus facilement récupérables : les contacts par personne et par jour \cite{social-contact} \cite{contact-rate} ainsi le taux
+d'infectiosité \cite{smallpox-transmission} sont aiséments trouvables dans des travaux de recherche.
+
+Néanmoins, l'utilisation de cette formule plus représentative du fonctionnement réel de la propagation du virus, n'est pas compatible avec les évolutions
+spécifiées dans le modèle suivant. Par conséquent, nous avons décidé de conserver la première expression. La nouvelle formule donne toutefois des résulats
+plus concluants dans le modèle SIR simple.
 
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-\subsection{Second modèle d'évolution : SEIR}
+\subsection{Second modèle d'évolution : SEIQR}
 On peut ensuite introduire dans notre modèle le phénomène d'incubation. Pour cela, on doit utiliser des variables stockant les personnes à différents stades de 
 l'incubation, comme vu à la figure \ref{variables}. Cela change légèrement les équations :
 \begin{itemize}
@@ -199,9 +204,6 @@ Il faut noter que chaque bloc traite plusieurs entrées et sorties, correspondan
 Le bloc $M$ modélise dans le cas présent les échanges entre les différents milieux. Il est donc appliqué à chaque pas après les évolutions internes.
 
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-% \bibliography{biblio.lib}{}
-% \bibliographystyle{plain}
-
 \begin{thebibliography}{9}
     \bibitem{smallpox-transmission}
         Center for disease control and prevention,
@@ -231,6 +233,13 @@ Le bloc $M$ modélise dans le cas présent les échanges entre les différents m
         \emph{The scaling of contact rates with population density for the infectious disease models},
         
         https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0025556413001235
+
+    \bibitem{pure-delay}
+        C. Stoica, M.R. Arahal, D.E. Rivera, P. Rodriguez-Ayerbe and D. Dumur,
+
+        \emph{Application of Robustified Model Predictive Control to a Production-Inventory System}
+
+        22 August 2017
 \end{thebibliography}
 
 \end{document}
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